Otro problema bastante frecuente está en la multiplicación y división de fracciones, sabemos que para sumar o restar fracciones lo primero que debemos hacer es pasarlas a denominador común y esto, a veces nos confunde a la hora de multiplicar o dividir fracciones.
Para multiplicar o dividir fracciones no necesitamos escribirlas con denominador común. Simplemente multiplicamos o dividimos las fracciones.
Recordamos para multiplicar fracciones numerador por numerador y denominador por denominador, para dividir fracciones multiplicamos numerador por denominador, lo escribimos en el nuevo numerador, y multiplicamos denominador por numerador y lo escribimos en el nuevo denominador.
Simplificación de fracciones Otro problema bastante frecuente es la simplificación de fracciones, sobre todo cuando hay algún tipo de operaciones en el numerador o en el denominador. Recordar, solo se simplifican los factores que están multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.
Otro error que he visto con bastante frecuencia este curso, es el siguiente: estoy terminando de resolver una ecuación y tengo una expresión de ese tipo. ¿Qué hago con esa a que me está molestando?
Bien sabemos que para cambiar “cosas” de miembro, “las que están sumando pasan restando y las que están restando pasan sumando” y también sabemos que “lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando”
2) No saben aplicar la ley general para resolver ecuaciones cuadraticas. Calcular el valor de la siguiente expresión: X²-4x+3=0 Esta es una ecuación cuadrática. El error comun que se comete es que no se sabe aplicar la formula general y a veces mucho menos factorar. (Si presentas esta deficiencia debes repasar la formula general para la ecuacion cuadratica)
3)Desconocimiento de las particularidades del numero cero: No se dan cuenta que algunas operaciones no estan definidas, o estando definidas llegan a resultados incorrectos como los siguientes: 5/0=0 (Esto es incorrecto, ya que la division entre cero es indefinida). 5/0=5 (increible, pero sucede). (Esto es incorrecto, ya que la division entre cero es indefinida). 0/5=5 (sabemos que al respuesta correcta es cero).
4)Problemas con la Resolución de fraccionarios. A pesar de que es un tema elemental, aun en universidad se cometen errores en la suma, resta, multiplicación y division de fraccionarios.
Los apuntes mal tomados En las clases de matemáticas se utiliza constantemente la pizarra. Gran parte de las cosas que el alumnado escribe en el cuaderno lo copia de la pizarra. Es por ello por lo que las chicas y chicos deben prestar atención a lo que trasladan de la pizarra a su cuaderno. Así, si en la pizarra aparece escrita una expresión como la que sigue: 5 3 + 2 Los alumnos podrían copiarla equivocadamente así: 3 + 2 / 5 Con lo que ya estarían escribiendo algo que no se ajusta a lo que se está haciendo, ya que en la pizarra se hace primero la suma y luego la división por 5, sin embargo, los alumnos estarían indicando que se hace primero la división 2 / 5 y seguidamente la suma con el 3, cumpliendo con la jerarquía de las operaciones. Casos reales detectados son los siguientes: Otro caso puede ser cuando en la pizarra se presenta lo que sigue: 90 372 37 3,72 − = ) Pero el alumnado escribe: 90 372 37 3,72 − = Es decir, olvida escribir el arco, con lo que ya no tiene sentido la expresión escrita en el cuaderno. Quizá, escriba el arco abarcando todo el 72, en lugar de sólo al 2, con lo que se estaría aplicando mal el método de obtención de fracciones generatrices y cuando el alumnado estudie el ejercicio en su casa, no sabrá de dónde sale el 0 o por qué se escribe solo un 9. De la misma manera, escribiendo en la pizarra ( 3 )4 a , el alumnado escribe: 34 a , pensando que los paréntesis son indiferentes, sin embargo, las dos expresiones anteriores son bien distintas.
Operaciones con números enteros: jerarquía de las operaciones El capítulo de los números enteros es uno de los que más cuesta dominar a los alumnos de primero de ESO y como consecuencia, es un tema en el que nos encontramos una gran cantidad de fallos. De forma natural o inconsciente, al realizar una serie de operaciones consecutivas, operamos de izquierda a derecha. Por ejemplo: 2 + 3 − 5 +1+ 4 − 7 = 5 − 5 +1+ 4 − 7 = 0 +1+ 4 − 7 = 5 − 7 = −2 Por otro lado, sabemos que el paréntesis puede cambiar esta situación, estando obligados a realizar primero las operaciones que se encuentran entre paréntesis. La duda surge cuando no aparecen los citados paréntesis, por ejemplo, veamos el siguiente ejercicio mal resuelto: 2 + 3× 5 = 25 El error cometido ha consistido en realizar primero la suma (2 + 3) y el resultado multiplicarlo por 5. En este caso la solución correcta es: 2 + 3× 5 = 2 +15 = 17 ya que debemos realizar primeramente el producto y posteriormente la suma. Lo mismo ocurre con el caso 12 −8 ÷ 2 = 2 , donde la respuesta correcta es 12 − 4 = 8 . El error cometido puede ser debido a que realizamos inconscientemente las operaciones de izquierda a derecha, de la misma forma en la que realizamos la lectura de textos. Para evitar este problema bastará con que aprendamos el orden en el que debemos realizar las operaciones y, por supuesto, no olvidarlo en la práctica. Otra situación es: 4 + 6 − 8 + 5 = 10 −13 = −3 Aquí, lo que ha hecho el alumno es sumar por un lado el 4 con el 6 y por otra parte sumar el 8 y con el 5, restando después ambos resultados. Esto es incorrecto porque no podemos separar el signo negativo del 8 para sumarlo al 5. La respuesta correcta es: 4 + 6 − 8 + 5 = 7 . Resolvamos ahora un caso con paréntesis y corchetes: 4 − [5 − (9 − 4)], aquí, utilizando el método de quitar paréntesis y corchetes, suele pasar que el alumnado puede saber que un signo menos, delante de un paréntesis cambia el signo de lo que va en el interior, sin embargo, lo que habitualmente pasa en este nivel, es que el alumno cambia el signo del primer elemento del paréntesis, pero no el del segundo, es decir, dan como respuesta: 4 − [5 − 9 − 4] = 4 − 5 − 9 − 4 = −14 Siendo, la respuesta correcta: 4 − [5 − 9 + 4]= 4 − 5 + 9 − 4 = +4 Toda la variedad de errores es debida en primer lugar, a la propia dificultad del tema, y en segundo lugar a la gran diversidad de formas que tenemos los profesores de explicar este tema. Esas diferentes explicaciones llegan a confundir a los pupilos.
La descomposición en factores primos Hay muchas situaciones en las que conviene descomponer un número en factores primos, es decir, escribirlo como producto de números que son todos ellos primos. Una técnica habitual es la de escribir el número a la izquierda de una línea vertical e ir haciendo divisiones sucesivas entre números primos. Como ejemplo: 120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 Se observa que en la columna de la derecha sólo se escriben números primos. Puedes ver los primeros números primos en el anexo 38. Con éste método, el número 120 puede escribirse como 2 × 2 × 2 × 3× 5 , o utilizando las potencias como 23 × 3× 5 . Analicemos ahora cuáles son los problemas con los que se encuentran los alumnos. El primero de ellos es no tener claro cuáles son los números primos, como se muestra con el siguiente caso: 870 435 87 1 2 5 87 Con lo que tendríamos una descomposición en factores primos errónea: 870 = 2 × 5 ×87 , ya que el 87, según la regla de divisibilidad del 3, no es número primo. Otro problema se produce cuando se escribe el 1 en la derecha: 20 10 5 1 1 2 2 5 1 Con lo que escribiríamos la descomposición 20 = 22 × 5 ×1 , que aunque es una igualdad cierta, no es una descomposición en factores primos porque no debemos olvidar que el 1 no es número primo
Trabajo con raíces cuadradas En la aplicación del algoritmo para calcular una raíz cuadrada, una gran cantidad de alumnos se despista cuando la cifra que ha de buscarse es un cero, como por ejemplo: 1965604 = 1402 En el momento en el que los chicos tienen que colocar el 0, lo que suele ocurrir es que bajan las dos cifras siguientes, pero no colocan el 0 correspondiente en el resultado. Otro error muy frecuente, es confundir la raíz de una suma con la suma de las raíces, pudiendo encontrar en algunos casos lo siguiente: 81+121 = 81 + 121 que no es cierto, ya que 81+121 = 202 = 14,21... , pero 81 + 121 = 9 +11 = 20 . Se presenta seguidamente un despiste curioso. En la rutina de las clases, siempre se muestran ejemplos con números redondos y con soluciones exactas. De hecho, cuando queremos recordar el significado de una raíz cuadrada realizamos una que sea exacta o cuyo radicando es un número natural. El problema se presenta en un ejercicio de aplicación de raíces en el que aparece la siguiente: 8,97 . La reacción del alumnado es decir que no puede hacerse porque hay decimales en el radicando. La incertidumbre puede surgir porque los ejercicios están casi siempre preparados para que salgan raíces exactas. De esta manera el alumnado no se acostumbra a realizar raíces de números extraños. El problema se resuelve remitiendo a los alumnos al momento en el que aprendieron a realizar raíces cuadradas y ejercitarse nuevamente con alguna cuyo radicando tenga decimales.
Otro problema bastante frecuente está en la multiplicación y división de fracciones, sabemos que para sumar o restar fracciones lo primero que debemos hacer es pasarlas a denominador común y esto, a veces nos confunde a la hora de multiplicar o dividir fracciones.
ResponderEliminarPara multiplicar o dividir fracciones no necesitamos escribirlas con denominador común. Simplemente multiplicamos o dividimos las fracciones.
Recordamos para multiplicar fracciones numerador por numerador y denominador por denominador, para dividir fracciones multiplicamos numerador por denominador, lo escribimos en el nuevo numerador, y multiplicamos denominador por numerador y lo escribimos en el nuevo denominador.
Simplificación de fracciones
ResponderEliminarOtro problema bastante frecuente es la simplificación de fracciones, sobre todo cuando hay algún tipo de operaciones en el numerador o en el denominador. Recordar, solo se simplifican los factores que están multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.
Simplificación de la expresión a•x = b
ResponderEliminarOtro error que he visto con bastante frecuencia este curso, es el siguiente: estoy terminando de resolver una ecuación y tengo una expresión de ese tipo. ¿Qué hago con esa a que me está molestando?
Bien sabemos que para cambiar “cosas” de miembro, “las que están sumando pasan restando y las que están restando pasan sumando” y también sabemos que “lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando”
2) No saben aplicar la ley general para resolver ecuaciones cuadraticas.
ResponderEliminarCalcular el valor de la siguiente expresión:
X²-4x+3=0
Esta es una ecuación cuadrática. El error comun que se comete es que no se sabe aplicar la formula general y a veces mucho menos factorar. (Si presentas esta deficiencia debes repasar la formula general para la ecuacion cuadratica)
3)Desconocimiento de las particularidades del numero cero:
ResponderEliminarNo se dan cuenta que algunas operaciones no estan definidas, o estando definidas llegan a resultados incorrectos como los siguientes:
5/0=0 (Esto es incorrecto, ya que la division entre cero es indefinida).
5/0=5 (increible, pero sucede). (Esto es incorrecto, ya que la division entre cero es indefinida).
0/5=5 (sabemos que al respuesta correcta es cero).
4)Problemas con la Resolución de fraccionarios.
ResponderEliminarA pesar de que es un tema elemental, aun en universidad se cometen errores en la suma, resta, multiplicación y division de fraccionarios.
Los apuntes mal tomados
ResponderEliminarEn las clases de matemáticas se utiliza constantemente la pizarra. Gran parte de las
cosas que el alumnado escribe en el cuaderno lo copia de la pizarra. Es por ello por lo
que las chicas y chicos deben prestar atención a lo que trasladan de la pizarra a su
cuaderno. Así, si en la pizarra aparece escrita una expresión como la que sigue:
5
3 + 2
Los alumnos podrían copiarla equivocadamente así: 3 + 2 / 5
Con lo que ya estarían escribiendo algo que no se ajusta a lo que se está haciendo, ya
que en la pizarra se hace primero la suma y luego la división por 5, sin embargo, los
alumnos estarían indicando que se hace primero la división 2 / 5 y seguidamente la
suma con el 3, cumpliendo con la jerarquía de las operaciones.
Casos reales detectados son los siguientes:
Otro caso puede ser cuando en la pizarra se presenta lo que sigue:
90
372 37
3,72
−
=
)
Pero el alumnado escribe:
90
372 37
3,72
−
=
Es decir, olvida escribir el arco, con lo que ya no tiene sentido la expresión escrita en el
cuaderno. Quizá, escriba el arco abarcando todo el 72, en lugar de sólo al 2, con lo que
se estaría aplicando mal el método de obtención de fracciones generatrices y cuando el
alumnado estudie el ejercicio en su casa, no sabrá de dónde sale el 0 o por qué se
escribe solo un 9.
De la misma manera, escribiendo en la pizarra ( 3 )4
a , el alumnado escribe:
34
a ,
pensando que los paréntesis son indiferentes, sin embargo, las dos expresiones
anteriores son bien distintas.
Operaciones con números enteros: jerarquía de las operaciones
ResponderEliminarEl capítulo de los números enteros es uno de los que más cuesta dominar a los alumnos
de primero de ESO y como consecuencia, es un tema en el que nos encontramos una
gran cantidad de fallos.
De forma natural o inconsciente, al realizar una serie de operaciones consecutivas,
operamos de izquierda a derecha. Por ejemplo:
2 + 3 − 5 +1+ 4 − 7 = 5 − 5 +1+ 4 − 7 = 0 +1+ 4 − 7 = 5 − 7 = −2
Por otro lado, sabemos que el paréntesis puede cambiar esta situación, estando
obligados a realizar primero las operaciones que se encuentran entre paréntesis. La
duda surge cuando no aparecen los citados paréntesis, por ejemplo, veamos el siguiente
ejercicio mal resuelto:
2 + 3× 5 = 25
El error cometido ha consistido en realizar primero la suma (2 + 3) y el resultado
multiplicarlo por 5. En este caso la solución correcta es:
2 + 3× 5 = 2 +15 = 17
ya que debemos realizar primeramente el producto y posteriormente la suma.
Lo mismo ocurre con el caso 12 −8 ÷ 2 = 2 , donde la respuesta correcta es 12 − 4 = 8 .
El error cometido puede ser debido a que realizamos inconscientemente las operaciones
de izquierda a derecha, de la misma forma en la que realizamos la lectura de textos.
Para evitar este problema bastará con que aprendamos el orden en el que debemos
realizar las operaciones y, por supuesto, no olvidarlo en la práctica.
Otra situación es:
4 + 6 − 8 + 5 = 10 −13 = −3
Aquí, lo que ha hecho el alumno es sumar por un lado el 4 con el 6 y por otra parte
sumar el 8 y con el 5, restando después ambos resultados. Esto es incorrecto porque no
podemos separar el signo negativo del 8 para sumarlo al 5. La respuesta correcta es:
4 + 6 − 8 + 5 = 7 .
Resolvamos ahora un caso con paréntesis y corchetes: 4 − [5 − (9 − 4)], aquí, utilizando
el método de quitar paréntesis y corchetes, suele pasar que el alumnado puede saber
que un signo menos, delante de un paréntesis cambia el signo de lo que va en el
interior, sin embargo, lo que habitualmente pasa en este nivel, es que el alumno cambia
el signo del primer elemento del paréntesis, pero no el del segundo, es decir, dan como
respuesta:
4 − [5 − 9 − 4] = 4 − 5 − 9 − 4 = −14
Siendo, la respuesta correcta: 4 − [5 − 9 + 4]= 4 − 5 + 9 − 4 = +4
Toda la variedad de errores es debida en primer lugar, a la propia dificultad del tema, y
en segundo lugar a la gran diversidad de formas que tenemos los profesores de explicar
este tema. Esas diferentes explicaciones llegan a confundir a los pupilos.
La descomposición en factores primos
ResponderEliminarHay muchas situaciones en las que conviene descomponer un número en factores
primos, es decir, escribirlo como producto de números que son todos ellos primos. Una
técnica habitual es la de escribir el número a la izquierda de una línea vertical e ir
haciendo divisiones sucesivas entre números primos. Como ejemplo:
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Se observa que en la columna de la derecha sólo se escriben números primos. Puedes
ver los primeros números primos en el anexo 38. Con éste método, el número 120
puede escribirse como 2 × 2 × 2 × 3× 5 , o utilizando las potencias como 23 × 3× 5 .
Analicemos ahora cuáles son los problemas con los que se encuentran los alumnos.
El primero de ellos es no tener claro cuáles son los números primos, como se muestra
con el siguiente caso:
870
435
87
1
2
5
87
Con lo que tendríamos una descomposición en factores primos errónea: 870 = 2 × 5 ×87 ,
ya que el 87, según la regla de divisibilidad del 3, no es número primo.
Otro problema se produce cuando se escribe el 1 en la derecha:
20
10
5
1
1
2
2
5
1
Con lo que escribiríamos la descomposición 20 = 22 × 5 ×1 , que aunque es una igualdad
cierta, no es una descomposición en factores primos porque no debemos olvidar que el
1 no es número primo
Trabajo con raíces cuadradas
ResponderEliminarEn la aplicación del algoritmo para calcular una raíz cuadrada, una gran cantidad de
alumnos se despista cuando la cifra que ha de buscarse es un cero, como por ejemplo:
1965604 = 1402
En el momento en el que los chicos tienen que colocar el 0, lo que suele ocurrir es que
bajan las dos cifras siguientes, pero no colocan el 0 correspondiente en el resultado.
Otro error muy frecuente, es confundir la raíz de una suma con la suma de las raíces,
pudiendo encontrar en algunos casos lo siguiente:
81+121 = 81 + 121
que no es cierto, ya que 81+121 = 202 = 14,21... , pero 81 + 121 = 9 +11 = 20 .
Se presenta seguidamente un despiste curioso. En la rutina de las clases, siempre se
muestran ejemplos con números redondos y con soluciones exactas. De hecho, cuando
queremos recordar el significado de una raíz cuadrada realizamos una que sea exacta o
cuyo radicando es un número natural.
El problema se presenta en un ejercicio de aplicación de raíces en el que aparece la
siguiente: 8,97 . La reacción del alumnado es decir que no puede hacerse porque hay
decimales en el radicando.
La incertidumbre puede surgir porque los ejercicios están casi siempre preparados para
que salgan raíces exactas. De esta manera el alumnado no se acostumbra a realizar
raíces de números extraños. El problema se resuelve remitiendo a los alumnos al
momento en el que aprendieron a realizar raíces cuadradas y ejercitarse nuevamente
con alguna cuyo radicando tenga decimales.